Définition
Soit \(A\subset E\subset{\Bbb R}^n\) avec \((E,\lVert\;\rVert)\) un espace métrique
L'intérieur de \(A\), noté \(\mathring A\), est le plus grand ouvert contenu dans \(A\)
(
Ouvert,
Espace métrique)
\(\mathring A\) est l'union de tous les ouverts contenus dans \(A\)
Si \(x\in\mathring A\), alors \(x\) est dit intérieur à \(A\)
Caractérisation
Caractérisation de l'intérieur d'un ensemble :
- $$\exists\varepsilon\gt 0,\qquad B(x,\varepsilon)\subset U$$
$$\Huge\iff$$
Propriétés
Intérieur d'un ouvert
Si \(A\) est un ouvert, alors on a $${{\mathring A}}={{A}}$$
(
Ouvert)
Intérieur d'un ouvert :
Intérieur du complémentaire
Si \(A={\Bbb R}^2\setminus B\), alors : $${{\mathring A}}={{{\Bbb R}^2\setminus\overline B}}$$
$${{\mathring{(A^C)} }}={{(\overline A)^C}}$$
(
Complémentaire,
Adhérence)
Union d'intérieurs
Union d'intérieurs :
$$\bigcup_{i\in I}\mathring{A_i}\subset\mathring{\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)}$$
Intersection d'intérieurs
Intersection d'intérieurs : $$\mathring{\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)}=\bigcap_{i\in I}\mathring{A_i}$$
Exemple
Intérieur d'un intervalle